ГЕОМЕТРИЯ: Угол прямоугольного треугольника равен 30 градусов, а радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжении Угол прямоугольного треугольника равен 30 градусов, а радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжении катетов, равен r. Найти гипотенузу.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.

Так как угол между гипотенузой и катетом равен 30 градусов, то треугольник ABC - равнобедренный и прямоугольный, и у него катеты равны.

Так как окружность касается продолжений катетов, то она проходит через вершину и центр окружности. Известно, что радиус касательной и радиус окружности, проведенный из точки касания, перпендикулярны. Поэтому (\triangle ADB) - равнобедренный ((AD = BD = r))

Так как (\triangle ABD) - равнобедренный, то угол B равен 30 градусов.

Теперь можно применить функции тригонометрии для нахождения гипотенузы c через катет a или b.

Например, через катет a:

[cos(30) = \frac{a}{c}]

[c = \frac{a}{cos(30)}]

[c = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}]

Поскольку катеты равны, то гипотенуза равна:

[c = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}]

Окончательно, гипотенуза равна (c = r\sqrt{3})