Доказать что дробь m(m-5)/2 есть целое число при любом натуральном m

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это по индукции.

База индукции: при m = 1 получаем 1(1-5)/2 = -2, что является целым числом.

Предположение индукции: предположим, что дробь m(m-5)/2 является целым числом для некоторого натурального m = k, т.е. k(k-5)/2 - целое число.

Шаг индукции: докажем, что если предположение индукции верно для m = k, то оно верно и для m = k+1. Для этого рассмотрим выражение (k+1)((k+1)-5)/2 = (k+1)(k-4)/2 = (k(k-5) + k - 5)/2 = (k(k-5)/2 + k - 5/2).

Так как по предположению индукции k(k-5)/2 - целое число, то оно обозначается как n, где n - целое число. Тогда выражение (k(k-5)/2 + k - 5/2) = n + k - 5/2 = целое число + целое число - целое число = целое число.

Итак, мы доказали, что если дробь m(m-5)/2 является целым числом для некоторого натурального m = k, то она также является целым числом и для m = k+1.

Таким образом, по принципу математической индукции можно сделать вывод, что дробь m(m-5)/2 является целым числом при любом натуральном m.