Для того чтобы найти экстремумы данной функции, нужно найти её производные и найти точки, в которых производная равна нулю.
Найдем первую производную функции yy' = (3x^2(x + 1)^2 - 2x^32(x + 1)) / (x + 1)^y' = (3x^2(x^2 + 2x + 1) - 4x^3(x + 1)) / (x + 1)^y' = (3x^4 + 6x^3 + 3x^2 - 4x^4 - 4x^3) / (x + 1)^y' = (-x^4 + 2x^3 + 3x^2) / (x + 1)^4
Найдем множество значений x, при которых производная равна нулю-x^4 + 2x^3 + 3x^2 = x^2(-x^2 + 2x + 3) = x^2(x - 3)(x + 1) = x = 0, x = 3, x = -1
Теперь найдем значения функции y при найденных значениях xy(0) = 0^3 / (0+1)^2 = y(3) = 3^3 / (3+1)^2 = 27 / 1y(-1) = (-1)^3 / (-1+1)^2 = 0
Таким образом, найдены две точки экстремума функции y= x^3 /(x+1)^21) (0, 02) (3, 27/16)
Точка (-1, 0) - точка перегиба функции, так как вторая производная y'' равна нулю.
Для того чтобы найти экстремумы данной функции, нужно найти её производные и найти точки, в которых производная равна нулю.
Найдем первую производную функции y
y' = (3x^2(x + 1)^2 - 2x^32(x + 1)) / (x + 1)^
y' = (3x^2(x^2 + 2x + 1) - 4x^3(x + 1)) / (x + 1)^
y' = (3x^4 + 6x^3 + 3x^2 - 4x^4 - 4x^3) / (x + 1)^
y' = (-x^4 + 2x^3 + 3x^2) / (x + 1)^4
Найдем множество значений x, при которых производная равна нулю
-x^4 + 2x^3 + 3x^2 =
x^2(-x^2 + 2x + 3) =
x^2(x - 3)(x + 1) =
x = 0, x = 3, x = -1
Теперь найдем значения функции y при найденных значениях x
y(0) = 0^3 / (0+1)^2 =
y(3) = 3^3 / (3+1)^2 = 27 / 1
y(-1) = (-1)^3 / (-1+1)^2 = 0
Таким образом, найдены две точки экстремума функции y= x^3 /(x+1)^2
1) (0, 0
2) (3, 27/16)
Точка (-1, 0) - точка перегиба функции, так как вторая производная y'' равна нулю.