Найти указанные интегралы. Полученные результаты проверить дифференцированием: интеграл sinx*sqrt(cos^3x) dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной.

Пусть t = cos(x), тогда dt = -sin(x) dx.

Исходный интеграл примет вид:

∫sin(x) √(cos^3(x)) dx = -∫√t^3 dt = -∫t^(3/2) dt = - (2/5)t^(5/2) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь найдем производную полученного результата для проверки:

d/dx [-(2/5)cos(x)^(5/2)] = (2/5) (5/2) sin(x) cos(x)^(3/2) = sin(x) cos(x)^(3/2)

Полученная производная совпадает с исходной функцией sin(x) * √(cos^3(x)), что подтверждает правильность нахождения интеграла.