1. Задан конус, площадь осевого сечения которого равна 4 корня из 3 см. квадратных. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 30°. Найдите:
а) радиус основания конуса
б) высоту конуса
2. Дан конус. Через вершину и хорду основания, равную 8 см, данного конуса проведено сечение. Угол между образующей конуса, лежащей в плоскости сечения, и хордой его основания равен 30°. Угол между сечением и плоскостью основания конуса равен 60°. Найдите высоту данного конуса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Площадь осевого сечения конуса равна (4\sqrt{3} \, \text{см}^2). Так как осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, пусть (\triangle ABC) - это осевое сечение, где (AB = AC = 2r) (где (r) - радиус основания конуса).
Таким образом, площадь осевого сечения равна (\frac{1}{2} \times 2r \times 2r \times \sin{30^\circ} = 4\sqrt{3}).
Отсюда получаем, что (2r^2 \times \frac{1}{2} = 4 \sqrt{3}), что приводит к уравнению (r^2 = 4\sqrt{3}) => (r = 2\sqrt[4]{3}) см.

б) Высота конуса (\displaystyle h=r\sqrt{3}) => (h = 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 6) см.

Обозначим через (O) вершину конуса, (AB) - хорду основания, (M) - середину хорды (AB), (N) - точку пересечения линии (OM) с плоскостью сечения, (MN) - высоту сечения.
Так как (MN = 4) см, а угол между образующей и хордой равен 30°, то получаем, что (\triangle MON) - равнобедренный треугольник.
Пусть (\angle MOM = \alpha). Тогда в прямоугольном треугольнике (MON): (\sin\alpha = \frac{MN}{OM} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}) => (\alpha = 30^\circ).
Также, угол между сечением и плоскостью основания равен 60°, значит (\angle MON = 60^\circ).

Отсюда следует, что (\angle MON = 90^\circ - \angle MOM) => (\angle MOM = 30^\circ).
Так как (\angle MON = 60^\circ), то (\angle MOB = 120^\circ).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник (MOB). По теореме синусов: (\frac{MO}{BO} =\sin{120^\circ}), откуда (\frac{MO}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}) => (MO = 2\sqrt{3}) см.

Так как (MN = 4) см, то (ON = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 12} = 2i) см.

Теперь найдем высоту конуса: (h = MO + ON = 2\sqrt{3} + 2i = 4) см.