1. Задан конус, площадь осевого сечения которого равна 4 корня из 3 см. квадратных. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 30°. Найдите:
а) радиус основания конуса
б) высоту конуса
2. Дан конус. Через вершину и хорду основания, равную 8 см, данного конуса проведено сечение. Угол между образующей конуса, лежащей в плоскости сечения, и хордой его основания равен 30°. Угол между сечением и плоскостью основания конуса равен 60°. Найдите высоту данного конуса.

9 Окт 2021 в 19:46
63 +2
1
Ответы
1

а) Площадь осевого сечения конуса равна (4\sqrt{3} \, \text{см}^2). Так как осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, пусть (\triangle ABC) - это осевое сечение, где (AB = AC = 2r) (где (r) - радиус основания конуса).
Таким образом, площадь осевого сечения равна (\frac{1}{2} \times 2r \times 2r \times \sin{30^\circ} = 4\sqrt{3}).
Отсюда получаем, что (2r^2 \times \frac{1}{2} = 4 \sqrt{3}), что приводит к уравнению (r^2 = 4\sqrt{3}) => (r = 2\sqrt[4]{3}) см.

б) Высота конуса (\displaystyle h=r\sqrt{3}) => (h = 2\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 6) см.

Обозначим через (O) вершину конуса, (AB) - хорду основания, (M) - середину хорды (AB), (N) - точку пересечения линии (OM) с плоскостью сечения, (MN) - высоту сечения.
Так как (MN = 4) см, а угол между образующей и хордой равен 30°, то получаем, что (\triangle MON) - равнобедренный треугольник.
Пусть (\angle MOM = \alpha). Тогда в прямоугольном треугольнике (MON): (\sin\alpha = \frac{MN}{OM} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}) => (\alpha = 30^\circ).
Также, угол между сечением и плоскостью основания равен 60°, значит (\angle MON = 60^\circ).

Отсюда следует, что (\angle MON = 90^\circ - \angle MOM) => (\angle MOM = 30^\circ).
Так как (\angle MON = 60^\circ), то (\angle MOB = 120^\circ).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник (MOB). По теореме синусов: (\frac{MO}{BO} =\sin{120^\circ}), откуда (\frac{MO}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}) => (MO = 2\sqrt{3}) см.

Так как (MN = 4) см, то (ON = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 12} = 2i) см.

Теперь найдем высоту конуса: (h = MO + ON = 2\sqrt{3} + 2i = 4) см.

17 Апр в 10:12
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 92 371 автору
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир