Доказательства по стереометрии Прямые а и b скрещиваются. Плоскость α параллельна прямой а и содержит прямую b. Прямая а' параллельна прямой а и пересекается с прямой b (или другими словами является проекцией прямой а на плоскость α).
а) Плоскость β содержит прямые а и а'. Доказать что плоскости α и β перпендикулярны
б) Плоскость β перпендекулярна прямым а и а'. Доказать что и тут эти плоскости перпендикулярны
в) Доказать что перпендикуляр из точки пересечения прямых а' и b к прямой а будет общим для прямых а и b

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть векторы a и a' лежат в плоскости α, a' = λa, где λ - постоянный коэффициент. Тогда вектор b = b' + kа, где b' перпендикулярен а и а' (лежит в плоскости α), а k - некоторый коэффициент. Поскольку векторы b' и b лежат в плоскости β, то вектор b' = mа + nа', где m и n - постоянные коэффициенты. Таким образом, b = mа + nλa. Поскольку а и а' коллинеарны, то b || a и а' || a, и α || β. Значит, плоскости α и β перпендикулярны.

б) Так как плоскость β перпендикулярна прямым a и a', то она также перпендикулярна векторам a и a'. Таким образом, векторы a и a' ортогональны плоскости β. Из этого следует, что плоскости α и β также перпендикулярны.

в) Пусть O - точка пересечения прямых a' и b, а H - перпендикуляр из O к прямой a. Так как b || a', то треугольник OHA прямоугольный. Поскольку вектор H = λa (где λ - постоянный коэффициент), прямая OH лежит в плоскости, содержащей векторы a и a'. Таким образом, прямая OH перпендикулярна плоскости β. Но по предыдущему доказательству плоскости α и β перпендикулярны, следовательно, перпендикуляр из O к прямой a будет общим для прямых a и b.