Признаки делимости, десятичная запись числа Дано восемь трехзначных чисел. Выписываются все возможные шестизначные
числа, получаемые приписыванием одного из наших трехзначных чисел к другому.
Докажите, что хотя бы одно из полученных шестизначных чисел делится на 7.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения рассмотрим остатки при делении трехзначных чисел на 7.

Любое трехзначное число можно представить в виде (100a + 10b + c), где (a), (b) и (c) - разряды числа (от 0 до 9), (a \neq 0).

Запишем все возможные остатки при делении чисел от 100 до 999 на 7:
100: 100 = 14 7 + 2
101: 101 = 14 7 + 3
...
106: 106 = 15 7 + 1
...
196: 196 = 28 7
197: 197 = 28 7 + 1
...
994: 994 = 142 7
995: 995 = 142 7 + 1
...
999: 999 = 142 7 + 5

Таким образом, остатки при делении трехзначных чисел на 7 могут быть от 0 до 6.

Теперь рассмотрим сумму двух трехзначных чисел (100a + 10b + c) и (100x + 10y + z), где (a), (b), (c), (x), (y), (z) - разряды чисел.

Сумма будет иметь вид: (100(a + x) + 10(b + y) + (c + z)).
Остаток при делении данной суммы на 7 будет равен остатку от суммы остатков каждого трехзначного числа.

Таким образом, если сумма остатков двух трехзначных чисел (100a + 10b + c) и (100x + 10y + z) равна нулю, это будет означать, что сумма делится на 7.

Поскольку у нас есть 8 трехзначных чисел, существует как минимум два числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 7. Следовательно, их сумма также будет делиться на 7.

Таким образом, хотя бы одно из полученных шестизначных чисел обязательно будет делиться на 7.