Найдите, если это возможно, такие целые числа a,b,c и d,что для всех значений х выполняется равенство: x^4+x^3-4x^2-x+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем скобки в правой части равенства:

(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a + c)x^3 + (b + ac + d)x^2 + (ad + bc)x + bd

Сравнивая это с x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 1, мы видим, что:

a + c =
b + ac + d = -
ad + bc = -
bd = 1

Из последнего уравнения видно, что b и d должны быть равными 1 или -1 (поскольку их произведение должно дать 1). Давайте попробуем оба случая:

Пусть b = d = 1. Тогда из уравнения ac + b + d = -4 мы находим a + c = -6 . Попробуем подобрать a и c так, чтобы их сумма была -6 и ac было -1. Мы видим, что a = 3 и c = -9 удовлетворяют обоим условиям. Проверим, что a + c = 3 - 9 = -6 и ac = 3 * -9 = -27:

(x^2 + 3x + 1)(x^2 - 9x + 1) = x^4 - 6x^3 - 4x^2 - x + 1

Теперь пусть b = d = -1. Тогда у нас a + c = 3 и ac = -1. Подходящими значениями a и c будут 1 и 2, так как 1 + 2 = 3 и 1 * 2 = 2:

(x^2 + x - 1)(x^2 + 2x - 1) = x^4 + 3x^3 - 4x^2 - x + 1

Итак, мы нашли такие целые числа a, b, c и d, при которых заданное равенство выполняется: либо a = 3, b = d = 1, c = -9, либо a = 1, b = d = -1, c = 2.