Косплексные числа. Решить уравнение: z^4 - 1 = 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно решить методом подстановки.

Пусть z = a + bi , где a, b - действительные числа.

Тогда уравнение примет вид:

(a + bi)^4 - 1 = 0

a^4 + 4a^3bi - 6a^2b^2 - 4ab^3i + b^4i^2 - 1 = 0

a^4 - 6a^2b^2 + b^4 - 1 + i(4a^3b - 4ab^3) = 0

Из этого уравнения можем получить два уравнения:

1) a^4 - 6a^2b^2 + b^4 - 1 = 0

2) 4a^3b - 4ab^3 = 0

Из второго уравнения исключаем b:

4ab(a^2 - b^2) = 0

Таким образом, либо a = 0, либо a^2 - b^2 = 0

Если a = 0, то из первого уравнения получаем: b^4 - 1 = 0 => b = ±1

Итак, решения для случая a = 0: z = ±i

Если a^2 = b^2, то b = ±a

Подставляем b = ±a в первое уравнение:

a^4 - 6a^2a^2 + a^4 - 1 = 0

2a^4 - 1 = 0

a^4 = 1/2

a = ±√(1/√2)

Получаем решения: z = √(1/√2) ± √(1/√2)i, z = -√(1/√2) ± -√(1/√2)i

Итак, решения уравнения z^4 - 1 = 0: z = ±i, z = √(1/√2) ± √(1/√2)i, z = -√(1/√2) ± -√(1/√2)i.