Площадь треугольника, система координат На плоскости хОу прямые у = x + 4 и у = -2 пересекаются в точке В, а прямая, проходящая через точку M(2; 0), пересекает заданные прямые соответственно в точках А и С. При каком положительном значении ординаты точки А площадь треугольника АВС будет наименьшей?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точки В, пересечения прямых у = x + 4 и у = -2. Подставив y = -2 в уравнение у = x + 4, получим x = -6. Таким образом, координаты точки В = (-6, -2).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку M(2;0) и точку В(-6;-2). Уравнение такой прямой можно найти, используя формулу: (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1). Подставляя координаты точек M и B, получаем уравнение y = -x/4 + 1.

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с прямой у = -2. Подставляя y = -2 в уравнение прямой y = -x/4 + 1, получаем x = 8. Таким образом, координаты точки C = (8, -2).

Теперь у нас есть точки A(х, у), B(-6, -2) и C(8, -2). Площадь треугольника ABC можно найти по формуле площади треугольника через координаты его вершин: S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.

Подставляя координаты точек A, B и C в формулу, получаем:

S = 0.5 |-6(y + 2) + 8(y + 2) + x(y + 2)| = 0.5 |2y + 8x + 4|

Теперь нужно найти такое положительное значение ординаты y точки A, при котором площадь треугольника будет наименьшей. Для этого продифференцируем площадь по переменной y и приравняем производную к нулю:

dS/dy = 0.5 * 2 = 1

Таким образом, при любом значении ординаты у точки A площадь треугольника АВС будет одинаковой и минимальной.