1. Дан шар диаметром 30 см. Стороны квадрата ABCD касаются поверхности шара. 1. Дан шар диаметром 30 см. Стороны квадрата ABCD касаются поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости квадрата равно 9 см. Найдите площадь квадрата.
2. Задан шар. Вершины треугольника ABC лежат на поверхности шара. В ∆ABC AB = 16 см и ∠ C = 150°. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника ABC равно 12 см. Найдите радиус шара.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB, где O - центр шара, A - точка касания шара с плоскостью квадрата, B - точка на поверхности шара. Так как O расстоит на 9 см от плоскости квадрата, то OA = 9 см. Также, по свойству касания шара и плоскости AB перпендикулярна радиусу, следовательно, ∠OAB = 90 градусов. Значит, треугольник OAB - прямоугольный. По теореме Пифагора,
OA^2 + AB^2 = OB^2,
9^2 + OB^2 = (15)^2,
OB^2 = 225 - 81,
OB = √144 = 12 см.
Теперь, так как сторона квадрата соответствует диаметру шара, то сторона квадрата равна 2*12 = 24 см. Площадь квадрата равна стороне в квадрате, т.е. 24^2 = 576 см^2.

Обозначим радиус шара как R. Так как вершины треугольника ABC лежат на поверхности шара, то каждая из сторон треугольника равна радиусу шара. Так как AB = 16 см, то R = 16 см. Теперь построим высоту треугольника из вершины C на сторону AB. Получим два прямоугольных треугольника ∆AHC и ∆BHC, где HC - высота, О расстояние от центра шара до плоскости треугольника. Так как ∠C = 150 градусов, то ∠BHC = 30 градусов (половина от ∠C). Теперь, используя тригонометрию в прямоугольном треугольнике BHC, получаем
cos(30) = HC/R,
cos(30) = √3/2,
HC/16 = √3/2,
HC = 8√3 см.
Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике HOC, получаем
HO^2 + HC^2 = OC^2,
12^2 + (8√3)^2 = R^2,
144 + 192 = R^2,
R^2 = 336,
R = √336 = 4√21 см.