Очень трудно. Решите кто сможет Сколькими способами можно покрасить все натуральные числа от 1 до 200 Сколькими способами можно покрасить все натуральные числа от 1 до 200 в красный и синий цвета так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не равнялась степени двойки?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи можно воспользоваться индукцией.

Пусть мы уже покрасили все числа от 1 до n и они удовлетворяют условию задачи. Рассмотрим число n+1.

Если n+1 - не является степенью двойки, тогда мы можем покрасить его в любой из двух цветов, не нарушая условие задачи. Таким образом, для всех чисел, не являющихся степенью двойки, есть два варианта окраски.

Если n+1 = 2^k, тогда мы должны покрасить его в тот цвет, который не встречается среди чисел 1, 2, 4, ..., 2^(k-1). Таким образом, для всех степеней двойки есть только один вариант окраски.

Таким образом, для всех чисел от 1 до 200, удовлетворяющих условию задачи, существует (2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^7) 2^7 = 2^8 2^7 = 2^15 = 32768 способов покраски.

Итак, существует 32768 способов покраски всех натуральных чисел от 1 до 200 так, чтобы никакая сумма двух различных одноцветных чисел не равнялась степени двойки.