Олимпиада по математике Действительное число у -3/у=5.Чему равно у⁴ + 81/у⁴ ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано у - 3/у = 5.

Умножим уравнение на у:

у² - 3 = 5у

у² - 5у - 3 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 5² - 4 1 (-3) = 25 + 12 = 37

у₁ = (5 + √37) / 2

у₂ = (5 - √37) / 2

так как нам дано у = у₁

у = (5 + √37) / 2

теперь найдем у⁴ + 81/у⁴:

у⁴ + 81/у⁴ = ((5 + √37) / 2)⁴ + 81 / ((5 + √37) / 2)⁴

Поскольку у = (5 + √37) / 2, подставляем у в исходное уравнение

((5 + √37) / 2)⁴ + 81 / ((5 + √37) / 2)⁴ = (5 + √37)⁴ / 16 + 81 * 16 / (5 + √37)⁴

Дальше можно продолжать раскрывать скобки, но выражение достаточно сложное для стандартного решения. Можем воспользоваться онлайн-калькулятором или другими средствами поиска решений.