Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y= -x^2+2x+3, y=3-x б) y= x^2-4x, y=-(x-4)^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 2x + 3 и y = 3 - x составляет:

∫[1, 2] [(3 - x) - (-x^2 + 2x + 3)] dx

= ∫[1, 2] (-x^2 + 2x - 3 + x) dx

= ∫[1, 2] (-x^2 + 3x - 3) dx

= [- (x^3/3) + (3x^2/2) - 3x] [1, 2]

= [-(2^3/3) + (3 2^2/2) - 3 2] - [-(1^3/3) + (3 1^2/2) - 3 1]

= [(-8/3) + 6 - 6] - [(-1/3) + (3/2) - 3]

= (-8/3) + 6 - 6 + 1/3 - 3/2 + 3

= 1/3 square units

б) Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x и y = -(x - 4)^2 составляет:

∫[0, 4] [(x^2 - 4x) - -(x - 4)^2] dx

= ∫[0, 4] (x^2 - 4x + (x - 4)^2) dx

= ∫[0, 4] (x^2 - 4x + x^2 - 8x + 16) dx

= ∫[0, 4] (2x^2 - 12x + 16) dx

= [ (2x^3/3) - (6x^2) + (16x)] [0, 4]

= (2 4^3/3 - 6 4^2 + 16 4) - (2 0^3/3 - 6 0^2 + 16 0)

= (128/3 - 96 + 64) - (0 - 0 + 0)

= 128/3 - 96 + 64

= 128/3 - 32

= (128 - 96) / 3

= 32/3 square units

Таким образом, площадь фигуры в случае (а) составляет 1/3 квадратных единиц, а в случае (б) составляет 32/3 квадратных единиц.