Олимпиада по математике Из единичных кубиков собрали большой куб. Два кубика будем называть соседними, если они соприкасаются гранями. Таким образом, у одного кубика может быть до 6 соседей. Известно, что количество кубиков, у которых ровно 4 соседа, равно 108. Найдите количество кубиков, у которых ровно 5 соседей

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи обратим внимание на то, что каждый кубик имеет от 0 до 6 соседей.
Поскольку у кубиков с ровно 4 соседями имеется 108 штук, то остальные кубики могут иметь либо 0, 1, 2, 3, 5 или 6 соседей.
Пусть общее количество кубиков равно Х.
Тогда 108 + X = количество кубиков с 0, 1, 2, 3, 5 и 6 соседями.
Так как у каждого кубика 4 соседа, то количество рёбер в этом графе вдвое больше количества кубиков.
Таким образом, количество рёбер в графе равно 2X, количество вершин равно Х.
Поскольку у каждой вершины 4 ребра, сумма степеней вершин графа равна 4X.
Тогда 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 4108 = 4X.
20 + 4108 = 4X,
X = 20 + 4108 / 4,
X = 140.
Таким образом, общее количество кубиков равно 140.
Известно, что 108 кубиков имеют ровно 4 соседей, следовательно, остальные (140 - 108) = 32 кубика имеют ровно 0, 1, 2, 3, 5 или 6 соседей.
Так как каждый кубик имеет ровно 6 соседей, то количество кубиков с ровно 5 соседями равно 232 = 64.