Известно, что уравнения x2+(2a−5)x+a2+1=0 и x3+(2a−5)x2+(a2+1)x+a2−9=0 имеют общие корни. Найдите сумму этих корней.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим уравнение x² + (2a - 5)x + a² + 1 = 0. Пусть его корни - m и n. Тогда по формуле Виета имеем:

m + n = 5 - 2a
mn = a² + 1

Теперь рассмотрим уравнение x³ + (2a - 5)x² + (a² + 1)x + a² - 9 = 0. По условию, у него есть корень m. Тогда можно записать это уравнение как:

(x - m)(x² + bx + c) = 0

где b и c - искомые коэффициенты. Раскрыв скобки и приравняв к исходному уравнению, мы получим, что:

m + b = 2a - 5
a² + 1 + cm = a² - 9

Отсюда находим b и c:

b = 2a - 5 - m
c = (9 - 1 - am)/m

Теперь используем формулы Виета для кубического уравнения:

m + 2a - 5 + c = 0
m(2a - 5 - m) + c(m) + (a² + 1) = 0

Подставляем найденные значения b и c:

m + 2a - 5 + (9 - 1 - am)/m = 0
m(2a - 5 - m) + (9 - 1 - am) + (a² + 1) = 0

Решив указанную систему уравнений, мы найдем корни m и n и их сумму.