Действительные числа x и y удовлетворяют соотношение x²+y+xy= 1 Найдите значение выражения x⁴+ y⁴ +(x+y)⁴

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: x² + y + xy = 1

Возводим данное уравнение в квадрат:
(x² + y + xy)² = 1²
x^4 + 2x³y + 3x²y² + 2xy² + y² = 1

Замечаем, что (x + y)² = x² + 2xy + y²

Подставляем полученное ранее уравнение (x² + y + xy)² и (x + y)² в данное уравнение:
x^4 + 2x³y + 3x²y² + 2xy² + y² = (x + y)²
x^4 + 2x³y + 3x²y² + 2xy² + y² = x² + 2xy + y²
x^4 + 2x³y + 3x²y² + 2xy² + y² = x² + 2x³y + y²

Выражение (x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

Подставим данное уравнение в полученную выше формулу:
x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ = x⁴ + y⁴ + (x + y)⁴

Таким образом, искомое значение выражения x⁴ + y⁴ + (x + y)⁴ равно x⁴ + y⁴ + 6x²y² + 4xy³.