Как вычислить предел последовательности lim (1/3*5+1/5*7+...+1/(2*n+1)*(2*n+3)) при n стремится к бесконечности

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления предела данной последовательности можно воспользоваться формулой для суммы первых n членов ряда.

Сначала перепишем каждый член последовательности в виде дроби:

1/(35) + 1/(57) + ... + 1/((2n+1)*(2n+3)).

Теперь подсчитаем сумму первых n членов этого ряда:

S_n = (1/(35) + 1/(57) + ... + 1/((2n+1)*(2n+3))) = ((1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (1/(2n+1) - 1/(2n+3))).

Заметим, что сокращаются все члены, кроме первого и последнего, в которых оставшееся число будет соответственно 1/3 и 1/(2n+3). Получаем:

S_n = (1/3 - 1/(2n+3)) = (2n+3-3)/(3*(2n+3)) = 2n/(3(2n+3)) = 2/(6+9/n).

Так как n стремится к бесконечности, значение 9/n стремится к нулю и предел этой последовательности равен 2/6 = 1/3.

Итак, предел данной последовательности при n стремится к бесконечности равен 1/3.