Найдите коэффициент при x^k в разложении:
(a+b+c+d)^11 Алгебра

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти коэффициент при ( x^k ) в разложении выражения ( (a+b+c+d)^{11} ), сначала нужно определить все возможные способы получения ( x^k ) путем выбора ((a, b, c, d)) из каждой скобки. Общее количество способов равно комбинациям с повторениями, которое можно вычислить по формуле:
[ C{n+k-1}^{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} ]
где ( n = 4 ) (количество переменных), ( k ) - степень искомого члена.
Таким образом, сначала найдем количество способов получения ( x^k ):
[ C{4+11-1}^{11} = C{14}^{11} = \frac{14!}{11!3!} = \frac{141312}{321} = 364 ]
Следующим шагом является определение коэффициента. Поскольку каждый член выражения имеет вид ( a^{p}b^{q}c^{r}d^{s} ), где ( p+q+r+s = 11 ), а ( p, q, r, s ) - целые неотрицательные числа, то коэффициент при ( x^k ) равен:
[ \binom{11}{p, q, r, s} ]
где ( p, q, r, s ) - такие значения, которые дают в сумме ( x^k ), и
[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} ]
таким образом:
[ \binom{11}{p, q, r, s} = \binom{11}{p} \binom{11-p}{q} \binom{11-p-q}{r} * \binom{11-p-q-r}{s} ]
При ( x^k ) значения ( p, q, r, s ) вычисляются путем деления ( k ) на 4 в соответствии с количеством переменных.
Таким образом, коэффициент при ( x^k ) в разложении ( (a+b+c+d)^{11} ) равен:
[ \sum{k=0}^{11} \binom{11}{p, q, r, s} ]
где ( k = 4p + 3q + 2r + s ).