Приведите квадратичную форму к каноническому виду методом лагранжа X^2+3y^2-z^2+4xy+24xz-8yz

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для приведения данной квадратичной формы к каноническому виду сначала запишем ее в матричной форме:

Q = [1 2 12;
2 3 -4;
12 -4 -1]

Теперь составим матрицу Грама для данной квадратичной формы:

G = [1 2 12;
2 3 -4;
12 -4 -1]

Теперь составляем лагранжиан L:

L = G + λI
L = [1 2 12;
2 3 -4;
12 -4 -1] + λ[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]
= [1+λ 2 12;
2 3+λ -4;
12 -4 1+λ]

Находим определитель матрицы L:

det(L) = [(1 + λ)((3 + λ)(1 + λ) + 4) - 2(2(1 + λ) + 12(-4)) - 12(4 - 12)] - 2[(2(1 + λ) - 12(12)) - 12(2)] + 12[2(-4) - 12(3 + λ)]
= (1 + λ)(3λ^2 + 4λ + 3) + 4 - 4(1 + λ) - 24 - 12(8) - 2(2 + 24) - 12(4 + 4λ)
= 3λ^3 + 4λ^2 + 3λ + 1 + 3λ^2 + 4λ + 3 + 4 - 4 - 24 - 12*8 - 4 - 48 - 12 - 96λ - 8λ
= 3λ^3 + 7λ^2 - 102λ - 51

Находим производную определителя по λ и приравниваем к нулю:

d(det(L))/dλ = 9λ^2 + 14λ - 102 = 0

Решая это уравнение, находим значения λ и подставляем их в матрицу L, после чего диагонализуем матрицу L с помощью элементарных преобразований, получаем канонический вид квадратичной формы.