Задача по геометрии. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Точка К - середина AD, точка Р лежит на ребре СС1 и СР : РС1=2 :1. Найти угол между прямыми КР и DB1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек А, D, K, R, C, C1, B1 и D1.

Пусть длина ребра куба равна a. Тогда координаты точек:
A(0, 0, 0),
D(0, a, 0),
K(0, a/2, 0),
C(0, a, a),
C1(0, 0, a),
B1(a, 0, a),
D1(a, a, a).

Теперь найдем координаты точки Р.
Так как RP:PC1 = 2:1, то координаты точки P можно найти как среднее арифметическое координат точек C и C1:
P(0, a/2, 2a).

Теперь найдем векторы КР и DB1:
Вектор КР = R - K = (0, a/2, 2a) - (0, a/2, 0) = (0, 0, 2a),
Вектор DB1 = B1 - D = (a, 0, a) - (0, a, 0) = (a, -a, a).

Найдем cos угла между векторами:
cos(α) = (КР DB1) / (|КР| |DB1|),
где * обозначает скалярное произведение векторов.

КР DB1 = 0 a + 0 (-a) + 2a a = 2a^2,
|КР| = √(0^2 + 0^2 + (2a)^2) = 2a,
|DB1| = √(a^2 + (-a)^2 + a^2) = √(3a^2).

cos(α) = (2a^2) / (2a * √(3a^2)) = 1 / √3 = √3 / 3.

Угол α между прямыми КР и DB1 равен arccos(√3 / 3) ≈ 35.26 градусов.