Задача по геометрии Дан куб АВСDA1B1C1D1. Точка К - середина AD, точка Р лежит на ребре СС1 и СР : РС1=2 :1. Найти угол между прямыми КР и DB1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам нужно найти координаты точек К, Р и B1.

Так как К - середина AD, то координаты точки К равны (0,0,0) + 0.5(1,0,0) = (0.5,0,0).
Так как Р лежит на ребре СС1 и СР : РС1=2 :1, то координаты точки Р можно найти как среднее арифметическое координат точек С и C1, умноженное на 1/3 и умноженное на 2/3 соответственно:
Р = 1/3 (1,1,0) + 2/3 (1,-1,0) = (2/3, 1/3, 0).
Координаты точки B1 равны (1,0,0) + (0,1,0) = (1,1,0).

Теперь найдем вектор КР и вектор DB1, а затем найдем угол между этими векторами.
Вектор КР = Р - К = (2/3, 1/3, 0) - (0.5, 0, 0) = (1/6, 1/3, 0).
Вектор DB1 = B1 - D = (1, 1, 0) - (0, 1, 1) = (1, 0, -1).

Угол между векторами находится по формуле cos(θ) = (КР DB1) / (|КР| |DB1|), где - скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение КР DB1 = (1/61 + 1/30 + 00) = 1/6.
|КР| = sqrt((1/6)^2 + (1/3)^2) = sqrt(1/36 + 1/9) = sqrt(5/36) = sqrt(5)/6.
|DB1| = sqrt(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(2).
cos(θ) = (1/6) / ((sqrt(5)/6) sqrt(2)) = 1 / (sqrt(5) * sqrt(2)) = 1 / sqrt(10) = sqrt(10) / 10.

Итак, угол между прямыми КР и DB1 равен arccos(sqrt(10)/10) ≈ 41.81 градус.