Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Найти: 1)векторы в системе орт и их модули; 2)угол между векторами ; 3)площадь грани АВС; 4)объем пирамиды АВСD; 5)уравнение ребра АВ; 6) уравнение плоскости АВС; 7) уравнение и длину высоты, опущенной из точки D на плоскость АВС. 1. А(1;2;1), В(-1;5;1), С(-1;2;7), D(1;5;9)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Векторы в системе орт и их модули:

Вектор AB = B - A = (-1 - 1; 5 - 2; 1 - 1) = (-2; 3; 0)
Модуль вектора AB: |AB| = √((-2)^2 + 3^2 + 0^2) = √(4 + 9) = √13

Вектор AC = C - A = (-1 - 1; 2 - 2; 7 - 1) = (-2; 0; 6)
Модуль вектора AC: |AC| = √((-2)^2 + 0^2 + 6^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10

Вектор AD = D - A = (1 - 1; 5 - 2; 9 - 1) = (0; 3; 8)
Модуль вектора AD: |AD| = √(0^2 + 3^2 + 8^2) = √(9 + 64) = √73

2) Угол между векторами:

Угол между векторами AB и AC:
cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)
где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC

AB · AC = (-2 -2) + (3 0) + (0 6) = 4
cos(θ) = 4 / (√13 2√10) = 4 / (2√130) = 2 / √130

3) Площадь грани ABC:

Площадь грани ABC = 1/2 |AB| |AC| sin(θ) = 1/2 √13 2√10 sin(arccos(2 / √130))

4) Объем пирамиды ABCD:

Объем пирамиды ABCD = 1/3 S(ABC) h
где S(ABC) - площадь грани ABC
h - высота пирамиды, опущенная из точки D на плоскость ABC

5) Уравнение ребра AB:

Уравнение прямой, проходящей через точки A и B:
(x - 1) / -2 = (y - 2) / 3 = (z - 1) / 0

6) Уравнение плоскости ABC:

Уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C:
А(x - 1) + В(y - 2) + C(z - 1) + D = 0

7) Уравнение и длина высоты, опущенной из точки D на плоскость ABC:

Уравнение прямой, проходящей через точки D и перпендикулярной плоскости ABC:
(x - 1) / 0 = (y - 5) / -8 = (z - 9) / 6

Длина высоты - расстояние от точки D до плоскости ABC.