Числитель несократимой обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь уменьшается на 1/3. Найдите эту дробь.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим числитель несократимой дроби за (x), а знаменатель за (y).

Из условия задачи имеем систему уравнений:

[
\left{
\begin{array}{l}
\frac{x}{y} - 5 = x - y, \
\frac{x-2}{y+16} = \frac{x}{y} - \frac{1}{3},
\end{array}
\right.
]

1) Из первого уравнения имеем:

[
\frac{x}{y} = x - y + 5.
]

2) Подставляем найденное значение (\frac{x}{y}) во второе уравнение:

[
\frac{x-2}{y+16} = (x-y+5) - \frac{1}{3}.
]

Упрощаем:

[
\frac{x-2}{y+16} = \frac{3x - 3y + 14}{3},
]

[
3(x-2) = (y+16)(3x - 3y + 14),
]

[
3x - 6 = 3xy + 48x - 48y + 42x - 42y + 224,
]

[
0 = 3xy + 94x - 90y + 230.
]

3) По первому уравнению получаем:

[
\frac{x}{y} = x - y + 5 = \frac{xy - y^2 + 5y}{y},
]

[
x = xy - y^2 + 5y,
]

[
x - xy = y(5 + y),
]

[
x(1 - y) = y(5 + y),
]

[
x = \frac{y(5 + y)}{1-y}.
]

4) Подставляем полученное значение (x) в уравнение 2:

[
0 = 3y(5 + y) + 94 \frac{y(5 + y)}{1-y} - 90y + 230,
]

[
0 = 15y + 3y^2 + 470y - 94y - 90y + 230 - 94y - 94y^2 + 90y^2 + 230(1 - y),
]

[
0 = 3y^2 + 90y + 230(1 - y),
]

[
0 = y^2 + 30y + 230 - 230y,
]

[
0 = y^2 - 200y + 230,
]

[
0 = (y - 10)(y - 20).
]

Таким образом, получаем два возможных значения для (y): (y = 10) и (y = 20).

Подставляем их обратно в полученное уравнение и находим соответствующие значения для числителя (x):

1) (y = 10):

[
x = \frac{10(5 + 10)}{1 - 10} = \frac{150}{-9}.
]

2) (y = 20):

[
x = \frac{20(5 + 20)}{1 - 20} = \frac{500}{-19}.
]

Итак, несократимая дробь либо (-\frac{150}{9}), либо (-\frac{500}{19}).