Алгебра, доказать неравенство. (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)≥9abc при a,b,c>0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Разложим левую часть неравенства:
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = a^3 + b^3 + c^3 + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2

Применим неравенство между арифметическим и квадратичным средним для чисел a^3, b^3, c^3:
(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ (abc)^(3/3) = abc

Таким образом:
a^3 + b^3 + c^3 ≥ 3abc

Теперь рассмотрим пары выражений a^2b и ab^2, b^2c и bc^2, a^2c и ac^2:
a^2b + ab^2 ≥ 2absqrt(ab) = 2ab
b^2c + bc^2 ≥ 2bcsqrt(bc) = 2bc
a^2c + ac^2 ≥ 2ac*sqrt(ac) = 2ac

Сложим все пары неравенств:
a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc + ac) = 2(a+b+c)sqrt(ab+bc+ac)

Таким образом, получаем:
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = a^3 + b^3 + c^3 + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 ≥ 3abc+2(a+b+c)sqrt(ab+bc+ac) ≥ 3abc+6((a+b+c)√(ab bc ac)) = 3abc + 6((a+b+c)abc) = 9abc

Таким образом, доказано неравенство (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) ≥ 9abc.