К графикам функций, заданным уравнениями y=x2+6 и y=4x–x2, проведены две общие касательные. Решите прошу!! К графикам функций, заданным уравнениями y=x2+6 и y=4x–x2, проведены две общие касательные. Найдите сумму координат точки пересечения диагоналей O четырёхугольника с вершинами в точках касания

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнения касательных к данным графикам в точках пересечения.

Уравнение касательной к функции y=x^2+6 в точке (a, a^2+6) имеет вид:
y'=2a(x-a)+a^2+6.
Так как эта касательная также касается графика y=4x-x^2, то должно выполняться условие:
2a(a-1)+a^2+6=4.

Аналогично, уравнение касательной к функции y=4x-x^2 в точке (b, 4b-b^2) имеет вид:
y'=-2b(x-b)+4b-b^2.
Так как эта касательная также касается графика y=x^2+6, то должно выполняться условие:
-2b(b+1)+4b-b^2=b.

Решая систему уравнений, получим значения a и b:
2a(a-1)+a^2+6=4,
-2b(b+1)+4b-b^2=b.

a=1, b=2.

Теперь найдем координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника. Для этого подставим a и b в уравнения касательных и найдем точку пересечения.

Точка пересечения диагоналей четырехугольника имеет координаты (3, 15).

Следовательно, сумма координат точки пересечения диагоналей равна 3+15=18.