Найдите все функции f 1. Найдите все функции f, удовлетворяющие при любых x,y∈(-∞,+∞) следующим двум условиям: f(x)+f(y)=f(x)f^2(y)+f(y)f^2(x), |f(x)-f(y)|<2.
2. Докажите, что для любых действительных чисел x и y выполнено неравенство x^2*y^2+5x^2-6xy+2y^2-6x-6y+13≥0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Начнем с первого условия: f(x) + f(y) = f(x)f^2(y) + f(y)f^2(x).
Подставим x = y:
f(x) + f(x) = f(x)f^2(x) + f(x)f^2(x)
2f(x) = 2f(x)*f^2(x)
Делим обе части на 2f(x):
1 = f^2(x)
f(x) = 1 или -1.

Теперь проверим второе условие |f(x) - f(y)| < 2:
Если f(x) = 1, то |1 - 1| < 2, что верно.
Если f(x) = -1, то |-1 - (-1)| < 2, что тоже верно.

Итак, все функции, удовлетворяющие данным условиям, это f(x) = 1 и f(x) = -1.

Для доказательства неравенства x^2*y^2 + 5x^2 - 6xy + 2y^2 - 6x - 6y + 13 ≥ 0, мы можем рассмотреть его как квадратичное уравнение относительно переменных x и y.

x^2*y^2 + 5x^2 - 6xy + 2y^2 - 6x - 6y + 13 = (xy - 3)^2 + 2(x - 1)^2 + 2(y - 1)^2 + 4
Очевидно, что это выражение всегда не меньше 4 (так как каждое слагаемое не меньше нуля).

Таким образом, x^2*y^2 + 5x^2 - 6xy + 2y^2 - 6x - 6y + 13 ≥ 0 для всех действительных x и y.