Алгебра
Целые числа х, у и z таковы, что y^2=xz . Докажите, x^2+y^2+z^2 что делится на x+y+z Целые числа х, у и z таковы, что y^2=xz . Докажите, x^2+y^2+z^2 что делится на x+y+z

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия уравнения y^2 = xz следует, что x и z делятся на y^2, то есть x и z могут быть записаны в виде x = ky^2 и z = ly^2, где k и l - целые числа.

Теперь подставим x, y и z в выражение x^2 + y^2 + z^2:

x^2 + y^2 + z^2 = (ky^2)^2 + y^2 + (ly^2)^2 = k^2y^4 + y^2 + l^2y^4 = (k^2+l^2)y^4 + y^2

Теперь подставим x, y и z в выражение x + y + z:

x + y + z = ky^2 + y + ly^2 = (k+l)y^2 + y

Таким образом, x^2 + y^2 + z^2 - (x + y + z) = (k^2+l^2)y^4 - (k+l)y^2 = y^2(k^2+l^2y^2 - (k+l)) = y^2(k^2 - 2kl + l^2) = y^2(k-l)^2

Поскольку (k-l)^2 всегда является квадратом целого числа, то и выражение x^2 + y^2 + z^2 - (x + y + z) также является квадратом целого числа. Следовательно, x^2 + y^2 + z^2 делится на x + y + z.