Дачное сообщество имеет прямоугольную форму всего дачного массива, которое поделено между дачниками на прямоугольные участки (возможно разные по площади). Опросив дачников о наличии у них соседей, было получено ровно два вида ответов: «три» и «семь» (участки соседние, если у них есть общий отрезок границы). При каком наименьшем количестве участков такое возможно? Ответ обоснуйте

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим сначала наименьшее количество участков, при котором возможны только ответы "три" или только ответы "семь".

Пусть у нас есть только участки с ответами "три". Тогда каждый участок имеет 3 соседа. Если взять один из участков и построить соседей по кругу, то получится, что на каждом из участков будет ровно по одному соседу, что противоречит условию задачи. Значит, такое количество участков невозможно.

Теперь рассмотрим наименьшее количество участков, при котором возможны только ответы "семь". Предположим, у нас есть только участки с ответами "семь". Тогда каждый участок имеет 7 соседей. Рассмотрим один из участков. Он имеет 7 соседей, а значит эти 7 участков являются соседями между собой (в каждой группе из 7 участков есть общий отрезок границы). Но такая ситуация также противоречит условию задачи, так как у нас могут быть только ответы "три" или "семь". Значит, такое количество участков с ответом "семь" также невозможно.

Следовательно, наименьшее количество участков, при котором возможны только ответы "три" и "семь", равно 4. Построим такую конфигурацию: возьмем два участка и сделаем их соседями. Затем возьмем еще два участка и также сделаем их соседями. Теперь у нас 4 участка, каждый из которых имеет 3 соседа. Такая конфигурация соответствует условию задачи и является наименьшей возможной.