Решить задачу по геометрии? Даны векторы a(5;-1;3) и b(4;2;3). при каком значении числа x проекция вектора (2a+ xb) равна нулю?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Проекция вектора на другой вектор равна нулю, если эти векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю.

Дано: вектор a(5,-1,3), вектор b(4,2,3), вектор проекции равный 0.

Так как проекция вектора (2a + xb) равна нулю, то исходный вектор (2a + xb) должен быть ортогонален вектору, на который его проецируют (в данном случае вектору b).

Теперь найдем проекцию вектора 2a + x * b на вектор b:

Проекция вектора a на b равна
(2 5 + x 4) 4 + (2 -1 + x 2) 2 + (2 3 + x 3) 3 =
(10 + 4x) 4 + (-2 + 2x) 2 + (6 + 3x) 3 =
40 + 16x - 4 + 4x + 18 + 9x =
40 + 16x - 4 + 4x + 18 + 9x =
16x - 4 + 4x + 9x = -5
29x - 4 = -5
29x = -5
x = -54 / 2
x ≈ -1.86

Ответ: x ≈ -1.86.