Докажите, что если (a,b)=1, то дробь (a^2*b^2)/(a^2+b^2) несократима Докажите, что если (a,b)=1, то дробь (a^2*b^2)/(a^2+b^2) несократима

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала предположим, что дробь (a^2b^2)/(a^2+b^2) сократима. То есть существует целое число k > 1, такое что (a^2b^2)/(a^2+b^2) = (ka')/(kb'), где (a',b') = 1.

Умножим обе части равенства на (a^2+b^2):

a^2 b^2 = k a' (a^2 + b^2
a^2 b^2 = k (a'^ a^2 + a' * b^2)

Раскроем скобки во втором уравнении:

a^2 b^2 = k a'^ a^2 + k a' b^
a^2 b^2 = a'^ k a^2 + a' k b^2

Перенесем все члены в одну часть уравнения:

0 = a'^ k a^2 + a' k b^2 - a^2 * b^2

Теперь можно выразить a^2 * b^2 как кратные другим членам:

0 = (a'^ k - b^2) a^2 + (a' k - a^2) b^2

Теперь мы видим, что a^2 является делителем правой части уравнения. Но так как (a,b) = 1, значит a не является делителем b^2 (и наоборот), что противоречит данному утверждению. Следовательно, изначальное предположение о сократимости дроби было ложным, и дробь (a^2*b^2)/(a^2+b^2) действительно несократима.