В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1... В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть M и N - середины отрезков A1B1 и AB соответственно. Так как A1B1 || AB, то треугольник AA1B1 подобен треугольнику ABM. Следовательно, AM/AA1 = BM/AB1 = AB/AB1, откуда AB1 = AB * BM/AM.

Поскольку M - середина AB, то AM = 0.5 AB. Таким образом, AB1 = 0.5 AB BM/(0.5 AB) = BM.

Аналогично, BN = A1B1.

Теперь рассмотрим треугольники ABA1 и B1NB. Так как AB1 = BN и A1B1 = BN, то эти треугольники равны и, следовательно, имеют равные основания и равные высоты.

Таким образом, две грани пирамиды SABC имеют одинаковые площади.