В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1.... В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи следует, что треугольники A1AB и B1BA - подобные.

Пусть S - площадь треугольника ABC, S1 - площадь треугольника A1AB, S2 - площадь треугольника B1BA.

Тогда, так как треугольники A1AB и B1BA подобные, то отношение площадей данных треугольников равно квадрату отношения высот к общей стороне AB:

S1 / S2 = (A1B1)^2 / AB^2

Так как отрезок A1B1 параллелен ребру AB, то A1B1 = AB, следовательно S1 = S2.

Теперь рассмотрим треугольники AB1S и A1SA1. Так как у них общая боковая сторона AB1 и равные площади S1 = S2, то данные треугольники равновелики.

Таким образом, две грани пирамиды SABC имеют одинаковые площади (основания AB и AB1).