В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия следует, что треугольники SAA1 и SBB1 подобны треугольнику SAB.
Обозначим длину стороны треугольника SAB за a, а длину высоты из вершины S на сторону AB за h.
Тогда по свойству подобных треугольников:
\frac{SA}{SB} = \frac{SA1}{SB1} и \frac{SA}{SA1} = \frac{SB}{SB1}.

Отсюда получаем, что \frac{SB1}{SA1} = \frac{SB}{SA}, т.е. SB1 = SB \cdot \frac{SA1}{SA}.
Так как отрезок A1B1 параллелен ребру AB, то также можно записать, что A1B1 = AB \cdot \frac{SA1}{SA}.

Площадь треугольника SAB равна S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.
Площадь треугольника SAA1 равна S1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h1, где h1 - высота из вершины S на сторону AA1, которая также равна h \cdot \frac{SA1}{SA}.
Аналогично площадь треугольника SBB1 равна S2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h2, где h2 - высота из вершины S на сторону BB1.

Таким образом, сравнивая площади треугольников S, S1 и S2, получаем:
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,
S1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \cdot \frac{SA1}{SA},
S2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \cdot \frac{SB1}{SA} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \cdot \frac{SB}{SA} \cdot \frac{SA1}{SA} = S1.

Таким образом, площади двух граней пирамиды равны.