Прямые L:у=кx+б, l1=к1x+б1 и l2:у=к2x+б2 касаются гиперболы y=1/x. Известно, что b=b1+b2. Докажите, что к>=2(к1+к2) Прямые L:у=кx+б, l1=к1x+б1 и l2:у=к2x+б2 касаются гиперболы y=1/x. Известно, что b=b1+b2. Докажите, что к>=2(к1+к2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку прямые L, l1 и l2 касаются гиперболы y=1/x, то уравнение этой гиперболы проходит через точку касания каждой из прямых. Пусть эта точка касания для прямой L имеет координаты (x0, y0), для прямой l1 - (x1, y1) и для прямой l2 - (x2, y2).

Так как прямые касаются гиперболы, то выполняется условие касания: уравнение прямой совпадает с касательной к гиперболе в точке касания. Запишем уравнения прямых и касательной к гиперболе в точке касания:

Для прямой L: y = kx + b (1)
Для гиперболы: y = 1/x (2)
В точке касания выполняется условие касания:
kx0 + b = 1/x0 (3)

Для прямой l1: y = k1x + b1 (4)
В точке касания:
k1x1 + b1 = 1/x1 (5)

Для прямой l2: y = k2x + b2 (6)
В точке касания:
k2x2 + b2 = 1/x2 (7)

Так как известно, что b = b1 + b2, подставим это равенство в (3), (5) и (7):
kx0 + b1 + b2 = 1/x0
k1x1 + b1 = 1/x1
k2x2 + b2 = 1/x2

Далее выразим каждый из коэффициентов k, k1 и k2 из соответствующих уравнений. После этого сложим полученные выражения и упростим:

k = (1/x0 - b1 - b2) / x0
k1 = (1/x1 - b1) / x1
k2 = (1/x2 - b2) / x2

k = (1/x0 - b1 - b2) / x0
k1 = (1/x1 - b1) / x1
k2 = (1/x2 - b2) / x2

k = (1 - x0b1 - x0b2) / (x0^2)
k1 = (1 - x1b1) / (x1^2)
k2 = (1 - x2b2) / (x2^2)

После сложения получаем:

k + k1 + k2 = (1 - x0b1 - x0b2) / (x0^2) + (1 - x1b1) / (x1^2) + (1 - x2b2) / (x2^2)

Для упрощения докажем, что x0 + x1 + x2 = -1. Так как точки касания лежат на гиперболе и прямые касаются гиперболы, то уравнения прямых проходят через эти точки:

kx0 + b = 1/x0
k1x1 + b1 = 1/x1
k2x2 + b2 = 1/x2

Так как b = b1 + b2, то:

kx0 + b1 + b2 = 1/x0
k1x1 + b1 = 1/x1
k2x2 + b2 = 1/x2

Домножим все уравнения на соответствующие координаты точек касания и сложим:

kx0^2 + b1x0 + b2x0 = 1
k1x1^2 + b1x1 = 1
k2x2^2 + b2x2 = 1

Поскольку x0, x1 и x2 - координаты точек касания, то:

k + k1 + k2 = 1/(x0^2) + 1/(x1^2) + 1/(x2^2) >= 1/((-x0)^2) = 1

Таким образом, k >= 2(k1 + k2).