Прямые L:у=кx+б, l1=к1x+б1 и l2:у=к2x+б2 касаются гиперболы y=1/x. Известно, что b=b1+b2. Докажите, что к>=2(к1+k2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнения касательных l1 и l2.

Из условия задачи знаем, что производная функции f(x) = 1/x равна -1/x^2.

Таким образом, уравнение касательной в точке х0 имеет вид y = -x0^2 + 1/x0.

Так как касательная к гиперболе касается в одной точке, то уравнение касательной пройдет через точку пересечения касательных l1 и l2.

Из условия b = b1 + b2, получаем, что b - b1 = b2, тогда у нас есть точка (0, b2), через которую проходит обе касательные l1 и l2.

Подставим эти точки в уравнения касательных:

b2 = a x b1 + b1
b2 = a x k2 x + b2

Решая эти два уравнения, получим, что k2 = -1, b2 = 2.

Аналогично для k1, получим, что k1 = 1, b1 = -1.

Зная уравнения этих касательных, получим, что к1 + к2 = 0.

Так как к > 0, то к2 - к1 > 0, следовательно к >= 2(к1 + к2) ∎