В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB....... В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку отрезок A1B1 параллелен ребру AB, то треугольники A1AB и A1B1B подобны по двум углам, а значит, отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения их сторон:

S(A1AB) / S(A1B1B) = (AA1^2) / (BB1^2) = (AA1 / BB1)^2

Из свойств высот треугольников SAA1 и SBB1 следует, что AA1 / BB1 = SA / SB. Значит, S(A1AB) / S(A1B1B) = (SA / SB)^2.

Но так как высоты SAA1 и SBB1 также являются биссектрисами угла ASB, то SA / SB = BA1 / AB1.

Итак, мы доказали, что S(A1AB) / S(A1B1B) = (BA1 / AB1)^2.

Отсюда следует, что S(A1AB) = S(A1B1B). Таким образом, две грани пирамиды SABC имеют одинаковые площади.