В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. .. В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка пересечения высот и ребер основания пирамиды обозначается точкой O. Так как точка O является центром прямоугольной трапеции AA1OB1 (так как A1B1 параллелен AB и AA1 является высотой треугольника AOB, а BB1 является высотой треугольника BOA1), то средний перпендикуляр к сторонам треугольника AOB, проведенный из точки O, равен средней линии трапеции AA1OB1.

Пусть G1 и G2 – середины сторон BC и AC соответственно, и M – середина отрезка A1B1. Так как отрезок A1B1 параллелен ребру AB, то M является серединой ребра AB. Также, так как отрезок A1B1 параллелен ребру AB, то треугольники ABB1 и A1B1M подобны, а значит отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения сторон AB1 и AM.

Теперь рассмотрим треугольники AG1O и A1OG1. Они подобны по 3-м углам (так как угол AOG1 равен углу AG1O = 90 градусов и угол AOG1 равен углу AG1O, так как оба они прямые). Таким образом, отношение площадей треугольников AG1O и A1OG1 равно квадрату отношения сторон AG1 и AO.

Так как треугольник ABB1 подобен треугольнику AOG1, и треугольник AA1B1 подобен треугольнику A1OG1, то отношение их площадей равно отношению площадей треугольников AG1O и A1OG1, то есть квадрату отношения сторон AG1 и AO.

Таким образом, площади двух граней пирамиды SABC будут равны, так как имеют отношение сторон AG1 и AO, которое является константой (в данном случае отношением сторон AB1 и AM).