Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади. В треугольной пирамиде SABC проведены высоты AA1 и BB1. Известно что отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Докажите, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения построим проекцию пирамиды SABC на плоскость, параллельную плоскости основания ABC. Пусть проекция точки A на эту плоскость будет точка A'. Точки B и C также будут проецироваться на точки B' и C'. Рассмотрим треугольники A'B'C' и A1B1B'.
Из условия задачи следует, что треугольник ABA1 подобен треугольнику ABC, так как AA1 является высотой, а также по условию отрезок A1B1 параллелен ребру AB. Поэтому
AB/A1B1 = AB/AB = BC/BC = AC/AC = 1.
Это значит, что треугольники ABA1 и ABC равны (одинаково остриёми обращены).
Теперь рассмотрим проекции этих треугольников. Треугольник A'B'C' получается из треугольника ABC поворотом на 90° по часовой стрелке относительно точки B, а треугольник A1B1B' также получается из треугольника ABA1 таким же поворотом. Поэтому треугольники A'B'C' и A1B1B' равны, а значит, и их грани равны.
Таким образом, мы доказали, что некоторые две грани пирамиды имеют одинаковые площади: грани ABA1 и ABC (равные) равны проекциям этих граней A'B'C' и A1B1B'.