На какой наименьший точный квадрат (квадрат натурального числа) не делится число 50! (n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти наименьший точный квадрат, на которое не делится число 50!, мы должны разложить число 50! на простые множители и найти минимально возможное количество множителей 2 и 3, которые образуют квадрат.

Разложим число 50! на простые множители:
50! = 2^47 3^22 5^12 7^8 11^4 13^3 17^2 19^2 23 29 31 37 41 43 47

Мы видим, что в разложении числа 50! есть 47 множителей 2 и 22 множителя 3. Чтобы число было точным квадратом, количество множителей 2 и 3 должно быть четным, т.е. мы можем взять минимально возможные степени множителей 2 и 3 в квадрате:
(2^46 3^22)^2 = 2^92 3^44

Следовательно, наименьший точный квадрат, на который не делится число 50!, это 2^92 * 3^44.