Координаты и векторы в пространстве Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки A (1;0;1), B (2;-1;0) и C (-1;3;1).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для составления уравнения плоскости через три точки A, B и C найдем векторы AB и AC, затем используем их в качестве нормали к плоскости.

Вектор AB:
AB = B - A = (2 - 1; -1 - 0; 0 - 1) = (1; -1; -1)

Вектор AC:
AC = C - A = (-1 - 1; 3 - 0; 1 - 1) = (-2; 3; 0)

Нормаль к плоскости - векторное произведение векторов AB и AC:
n = AB x AC = |i j k |
|1 -1 -1|
|-2 3 0|

n = ((-1)0 - (-1)(-2); (1)0 - (-1)(-2); (1)3 - (-1)(-2)) = (2; 2; 5)

Таким образом, нормаль к плоскости n = (2; 2; 5).

Уравнение плоскости имеет вид: 2(x - 1) + 2(y - 0) + 5(z - 1) = 0

Упростим уравнение и получим окончательный ответ:
2x + 2y + 5z - 2 - 5 = 0
2x + 2y + 5z - 7 = 0

Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;0;1), B(2;-1;0) и C(-1;3;1), имеет вид 2x + 2y + 5z - 7 = 0.