Найдите площадь фигуры, ограниченной данными линиями y=4x−x2,x=5,ось Ox

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями y=4x−x^2 и x=5, нужно найти интеграл от функции y=4x−x^2 по оси x от 0 до 5 и вычесть из этого значения площади треугольника, образованного осью Ox, линией x=5 и прямой y=4x−x^2.

Интеграл от функции y=4x−x^2 по оси x от 0 до 5 будет равен:

∫[0,5] (4x - x^2) dx
= [2x^2 - (x^3)/3] from 0 to 5
= 2*5^2 - (5^3)/3
= 50 - 125/3
= 125/3

Теперь нужно найти площадь треугольника, образованного осью Ox, линией x=5 и прямой y=4x−x^2. Этот треугольник имеет высоту 45 - 5^2 = 20 - 25 = -5. Площадь треугольника равна 1/2 основание * высоту, то есть:

0.5 5 5 = 12.5

Теперь вычитаем площадь треугольника из интеграла, чтобы найти искомую площадь фигуры:

125/3 - 12.5 = (125 - 37.5) / 3 = 87.5 / 3 = 29.166666666666668

Поэтому площадь фигуры, ограниченной линиями y=4x−x2, x=5 и осью Ox, составляет приблизительно 29.17.