Задача по геометрии Докажите, что если прямые y = kx+m, y = mx+n и y = nx+k на координат-ной плоскости имеют общую точку, то они совпадают.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что три данных уравнения прямых могут иметь общую точку только в случае, если каждая из них проходит через эту точку.

Пусть общая точка прямых – это точка (x₀, y₀). Тогда подставим эти значения в каждое из трех уравнений:

1) y = kx + m: y₀ = kx₀ + m
2) y = mx + n: y₀ = mx₀ + n
3) y = nx + k: y₀ = nx₀ + k

Теперь подставим любые два уравнения в третье для определения значений k, m и n. Например, подставим первые два уравнения в третье:

kx₀ + m = nx₀ + k

mx₀ + n = nx₀ + k

Отсюда следует, что k = n и m = k. Значит, все три прямые имеют одни и те же коэффициенты, следовательно, они совпадают.