Задача по алгебре Даны натуральные числа a и b (a > 1), причём b делится на a2. Кроме того, любой делитель числа b, меньший, чем a, является также делителем числа a. Докажите, что у числа a не более трех различных простых делителей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Представим число a в виде произведения простых множителей: a = p1^k1 p2^k2 ... * pn^kn.

Так как b делится на a^2, то b = a^2 * m, где m - натуральное число. Заметим, что любой простой делитель числа b, меньший, чем a, также является делителем числа a.

Посмотрим на делители числа a^2: они имеют вид p1^i1 p2^i2 ... pn^in, где 0 ≤ i1 ≤ 2k1, 0 ≤ i2 ≤ 2k2, ..., 0 ≤ in ≤ 2kn. Таким образом, у числа a^2 не более чем (2k1 + 1) (2k2 + 1) ... (2kn + 1) различных делителей.

Так как b = a^2 m, то число b имеем делители вида a^2, a p1^j1 p2^j2 ... * pn^jn, где 0 ≤ j1 ≤ k1, 0 ≤ j2 ≤ k2, ..., 0 ≤ jn ≤ kn.

Таким образом, количество различных делителей числа b не превосходит (2k1 + 1) (2k2 + 1) ... (2kn + 1) (k1 + 1) (k2 + 1) ... * (kn + 1).

Так как b делится на a^2, то b = a^2 m = p1^(2k1) p2^(2k2) ... pn^(2kn) * m.

Сравнивая два предыдущих неравенства, можем сделать вывод, что

(k1 + 1) (k2 + 1) ... (kn + 1) ≤ (2k1 + 1) (2k2 + 1) ... (2kn + 1).

Так как количество простых делителей числа равно произведению показателей степеней, то получаем, что у числа a не более трех различных простых делителей.

Таким образом, доказано, что у числа a не более трех различных простых делителей.