Задача по математике В магазине есть шарики различных цветов.
1) Каким количеством способов можно выбрать 5 шариков различных цветов?
2) Каким количеством способов можно выбрать 5 шариков не обязательно различных цветов?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для выбора 5 шариков различных цветов можно воспользоваться формулой сочетаний: $$ C{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
Где n - общее количество шариков различных цветов (сколько всего цветов), а k - количество выбранных шариков.
Если, например, у нас в магазине 10 разных цветов шариков, то количество способов выбрать 5 шариков различных цветов будет:
$$ C{10}^{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252 $$

2) Для выбора 5 шариков не обязательно различных цветов можно воспользоваться формулой сочетаний с повторениями: $$ C{n+k-1}^{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} $$
Где n - общее количество цветов, k - количество выбранных шариков.
Если у нас в магазине есть только 3 разных цвета шариков и мы должны выбрать 5 шариков, то количество способов будет:
$$ C{3+5-1}^{5} = \frac{7!}{5!(3-1)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 21 $$

Таким образом, есть 252 способа выбрать 5 шариков различных цветов и 21 способ выбрать 5 шариков не обязательно различных цветов.