Докажите , что при любом значении n выполняется равенство : 1(в кубе) + 2(в кубе) + 3(в кубе) + ... + n(в кубе) = числитель (n(квадрат) * (n + 1)(квадрат)) знаменатель 4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для этого используем метод математической индукции.

При n = 1:
1^3 = 1, n^2 (n + 1)^2 / 4 = 1 4 / 4 = 1
Таким образом, база индукции выполняется.

Предположим, что равенство выполняется для n = k, т.е.
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = k^2 * (k + 1)^2 / 4

Докажем, что равенство выполняется для n = k + 1:
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + (k + 1)^3 = (k^2 (k + 1)^2 / 4) + (k + 1)^3
= (k^2 (k + 1)^2) / 4 + (k + 1)^3
= (k^2 (k + 1)^2 + 4(k + 1)^3) / 4
= ((k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)) / 4
= (k + 1)^2 * (k + 2)^2 / 4

Таким образом, выполняется равенство для любого n.