Математика возведение в большую степень При каких натуральных n числа n и n^2021 оканчивается на одну и ту же цифр
Желательно чтобы было решение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть n оканчивается на цифру a. Тогда n может быть записано в виде n = 10k + a, где k - целое число. Тогда n^2021 = (10k + a)^2021.

Из бинома Ньютона мы знаем, что (10k + a)^2021 = C(2021, 0)(10k)^2021a^0 + C(2021, 1)(10k)^2020a^1 + ... + C(2021, 2021)(10k)^0a^2021.

Так как мы интересуемся только последней цифрой числа n^2021, то нам нужно рассмотреть только последние цифры каждого слагаемого суммы. Так как 10 делится на 2 и 5, то все слагаемые, кроме последнего, будут завершаться нулями.

Итак, последнее слагаемое имеет вид C(2021, 2021)*a^2021 = a^2021. Для того чтобы последняя цифра числа n^2021 совпадала с a, необходимо, чтобы a^2021 оканчивалось на a. То есть, a^2020 должно делиться на 10, что возможно только если a = 0 или a = 5.

Таким образом, если n оканчивается на 0 или 5, то n^2021 также будет оканчиваться на ту же цифру.