№10 (1) Найдите наибольшее значение выр-я 2ab-a^2-2b^2+4b При каких значениях a и b оно достигается? №10 (2) Пусть a+1/a=3 Найдите 1) a^2+1/a^2 (2) a^4+1/2a^2 (3) a^8+1/a^4 (4) a^3+1/a^3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

(1) Из выражения 2ab - a^2 - 2b^2 + 4b можно выделить квадратичное выражение (а - b)^2 и получить 2(a - b)^2 + 2b
Наибольшее значение данного выражения будет достигаться при максимальном значении квадратичного выражения (а - b)^2, т.е. если (а - b)^2 = 0, то a = b
Следовательно, максимальное значение выражения равно 20 + 2b = 2b.

(2) Поскольку a + 1/a = 3, то a^2 + 2 + 1/a^2 = 3^2 = 9. Отсюда a^2 + 1/a^2 = 9 - 2 = 7
Также из равенства a + 1/a = 3 следует, что a^2 + 2 + 1/a^2 = 3^2, откуда a^2 + 1/a^2 = 3^2 - 2 = 7
Далее, a^4 + 2 + 1/a^4 = (a^2 + 1/a^2)^2 - 2 = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47
Аналогично, a^8 + 2 + 1/a^8 = (a^4 + 1/a^4)^2 - 2 = 47^2 - 2 = 2209 - 2 = 2207
Наконец, a^3 + 1/a^3 = (a + 1/a)(a^2 - a1 + 1) = 3(a^2 - a + 1)
Подставляя значение a^2 + 1/a^2 = 7, получаем a^3 + 1/a^3 = 36 = 18.

Итак, ответы на задачу №10 (2)
1) a^2 + 1/a^2 = 7
2) a^4 + 1/a^4 = 47
3) a^8 + 1/a^8 = 2207
4) a^3 + 1/a^3 = 18.