Найти точки условного экстремума и наибольшее и наименьшее значения
функции f ( x , y )=xy при условии x+y=3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения точек условного экстремума воспользуемся методом множителей Лагранжа.
Пусть уравнение f(x, y) = xy + λ(x + y - 3) имеет стационарные точки.
Найдем частные производные функции f по x, y и λ:
∂f/∂x = y + λ = 0,
∂f/∂y = x + λ = 0,
∂f/∂λ = x + y - 3 = 0.

Из первых двух уравнений находим, что x = -y. Подставляем это в третье уравнение:
-x + x - 3 = 0,
-3 = 0,
Противоречие, значит точек условного экстремума нет.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y) = xy при условии x + y = 3.
Подставим y = 3 - x в функцию f(x, y):
f(x) = x(3 - x) = 3x - x^2.

Найдем производную f'(x) = 3 - 2x и приравняем к нулю для поиска экстремумов:
3 - 2x = 0,
2x = 3,
x = 3/2,
y = 3 - 3/2 = 3/2.

Таким образом, найдена точка (3/2, 3/2). Подставим эту точку в f(x, y) = xy:
f(3/2, 3/2) = (3/2)(3/2) = 9/4.

Наибольшее значение функции равно 9/4, а наименьшее значение функции равно 0 (при x = 0 или y = 0).