Найти точки условного экстремума и наибольшее и наименьшее значения
функции f ( x , y )=xy при условии x+y=3.

8 Дек 2021 в 19:10
83 +1
0
Ответы
1

Для нахождения точек условного экстремума воспользуемся методом множителей Лагранжа.
Пусть уравнение f(x, y) = xy + λ(x + y - 3) имеет стационарные точки.
Найдем частные производные функции f по x, y и λ:
∂f/∂x = y + λ = 0,
∂f/∂y = x + λ = 0,
∂f/∂λ = x + y - 3 = 0.

Из первых двух уравнений находим, что x = -y. Подставляем это в третье уравнение:
-x + x - 3 = 0,
-3 = 0,
Противоречие, значит точек условного экстремума нет.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y) = xy при условии x + y = 3.
Подставим y = 3 - x в функцию f(x, y):
f(x) = x(3 - x) = 3x - x^2.

Найдем производную f'(x) = 3 - 2x и приравняем к нулю для поиска экстремумов:
3 - 2x = 0,
2x = 3,
x = 3/2,
y = 3 - 3/2 = 3/2.

Таким образом, найдена точка (3/2, 3/2). Подставим эту точку в f(x, y) = xy:
f(3/2, 3/2) = (3/2)(3/2) = 9/4.

Наибольшее значение функции равно 9/4, а наименьшее значение функции равно 0 (при x = 0 или y = 0).

16 Апр в 20:48
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 83 913 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир