Пример алгебраической дроби:
( \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 4x + 3} )
Решение:
Факторизуем знаменатель[ x^2 + 4x + 3 = (x+3)(x+1) ]
Разложим дробь на простейшие[ \frac{3x^2 + 2x + 1}{(x+3)(x+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x+1} ]
Найдем значения ( A ) и ( B ) путем общего знаменателя[ 3x^2 + 2x + 1 = A(x+1) + B(x+3) [ 3x^2 + 2x + 1 = Ax + A + Bx + 3B [ 3x^2 + 2x + 1 = x(A + B) + 3B + A ]
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ( x )[ A + B = 2 [ 3B + A = 1 ]
Решаем систему уравнений и находим значения ( A = -1, B = 3 ).
Теперь подставляем ( A = -1 ) и ( B = 3 ) обратно в исходную дробь[ \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 4x + 3} = \frac{-1}{x+3} + \frac{3}{x+1} ]
Пример алгебраической дроби:
( \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 4x + 3} )
Решение:
Факторизуем знаменатель
[ x^2 + 4x + 3 = (x+3)(x+1) ]
Разложим дробь на простейшие
[ \frac{3x^2 + 2x + 1}{(x+3)(x+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x+1} ]
Найдем значения ( A ) и ( B ) путем общего знаменателя
[ 3x^2 + 2x + 1 = A(x+1) + B(x+3)
[ 3x^2 + 2x + 1 = Ax + A + Bx + 3B
[ 3x^2 + 2x + 1 = x(A + B) + 3B + A ]
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ( x )
[ A + B = 2
[ 3B + A = 1 ]
Решаем систему уравнений и находим значения ( A = -1, B = 3 ).
Теперь подставляем ( A = -1 ) и ( B = 3 ) обратно в исходную дробь
[ \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 4x + 3} = \frac{-1}{x+3} + \frac{3}{x+1} ]